Giriş

Öz yinelemeli fonksiyonlar kendi içerisinde tekrar tekrar kendisini çağıran fonksiyonlardır. Tam da bu yüzden bu algoritmaların analizini yapmak standart fonksiyonlara göre daha zahmetlidir.

Algoritma analizi kapsamında recursive olmayan fonksiyonların analizi standart yöntemlerle kolay bir şekilde gerçekleştirilebilirken recursive fonksiyonlarda işler biraz karışabiliyor. Bu fonksiyonların analizini gerçekleştirmek için birkaç yöntem bulunmaktadır. Bu yazıda bir özyinelemeli algoritmanın analiz analiz yöntemlerinden bahsederek Iteration Methodu ile Hanoi Kuleleri algoritmasının analizini gerçekleştireceğiz.

Temel olarak 2 adım ile bu fonksiyonların analizi gerçekleştirilebilir:

1. Algoritmanın zamana bağlı denkleminin T(n) elde edilmesi.
2. Elde edilen denklemin Substitution, Iterasyon, Recursion Tree veya Master yöntemleriyle çözülmesi.

Birinci adım için daha önce yazmış olduğum Recursive (Özyinelemeli) Fonksiyonlarda Zaman Denklemini Bulma yazımı okuyabilirsiniz.

Bu yazıda ikinci adım olan T(n)‘i bilinen bir algoritmanın Iteration teoremini kullanarak analizini gerçekleştireceğiz.

Iteration (İterasyon-Yineleme) Metodu

Iteration metodu, bir recursive denklemi çözmek için kullanılan tekniklerden biridir. T(n) denklemini ardışık adımlarla açarak, fonksiyonun kapalı formunu (closed form) elde etmeye çalışır. Bu yöntemin temel adımları şu şekilde sıralanabilir:

1. T(n) denkleminin bulunması
2. Bulunan T(n)’in tekrar tekrar açılması
3. Genelleme yapılması, genel bir ifade bulunması
4. Durdurma koşulunun hesaplanması
5. Kapalı formun elde edilmesi

Şimdi bu adımları Hanoi Kuleleri algoritması üzerinde sırayla gerçekleştireceğiz. Analize geçmeden önce kısaca Hanoi Kuleleri algoritmasına değinebiliriz.

Hanoi Kuleleri Algoritması

Kısaca bir çubuk üzerindeki blokları diğer çubuğa en altta en büyük en üstte ise en küçük blok olacak şekilde taşınmasını hedefleyen algoritmadır ve aşağıdaki görsel ile anlatılabilir. Yalnız bu işlemi gerçekleştirmek için 2 kural bulunuyor. Her hamlede yalnızca 1 blok hareket ettirilebilir ve hiçbir hamlede küçük bir bloğun üstünde büyük bir blok olamaz.

Bu algoritmayı koda dökecek olursak aşağıdaki gibi bir recursive fonksiyon yazabiliriz. Blokları A çubuğundan C çubuğuna taşımak istiyoruz.

package main

func main() {
	hanoi(3, "A", "C", "B")
}

func hanoi(n int, from, to, aux string) {
	if n >= 1 {
		hanoi(n-1, from, aux, to)
		move(from, to)
		hanoi(n-1, aux, to, from)
	}
}

func move(from, to string) {
	println("Move disk from", from, "to", to)
}

Şimdi analiz adımlarına geçebiliriz.

1) T(n) denkleminin bulunması

Recursive fonksiyon çağırımlarının ikisi de n-1 kez çalışacaktır. Dolayısıyla ikisine de T(n-1) diyebiliriz. ortadaki move fonksiyonu ise herhangi bir recursive çağırım yapmadığı için O(1) diyebiliriz. Oluşan ifadeleri topladığımızda T(n) denklemini T(n)=2T(n-1)+1 şeklinde elde ederiz.

2) Bulunan T(n)’in Tekrar Tekrar Açılması

Denklemimizde O(1) yerine sabit olarak c yazabiliriz. Ardından n yerine birkaç kez fonksiyonun kendi değerini yazarak tekrar tekrar açtığımızda aşağıdaki gibi 8T(n-3)+7c ifadesini elde edeceğiz.

3) Genelleme yapılması, genel bir ifade bulunması

Elde ettiğimiz T(n)=8T(n-3)+7c ifadesini biraz düzenleyelim. 8 yerine 2^3 ve 7 yerine 2^3 – 1 yazabiliriz. İfademizin son hali şöyle olur:

Fark edildiği üzere bu ifadede 3 sayısı ortak bir hale geldi. 3 yerine k yazalım. Şu ifadeyi elde ederiz:

Böylelikle ifadeyi genelleştirerek değişkenli bir hale dönüştürdük. Sonraki adıma geçebiliriz.

4) Durdurma koşulunun hesaplanması

Durdurma koşulunun hesaplanması adımı ifadede T içerisini sıfıra eşitlemekten geçer. Yani n-k = 0 ifadesini çözmemiz gerekir. Sonuç olarak n=k elde ederiz. Durdurma koşulumuzu n olarak elde ettik.

5) Kapalı formun elde edilmesi

Son adımda ise bir önceki adıma bulduğumuz durdurma koşulunu denklemde k yerine yazmamız gerekiyor.

Eğer T(0)=0 ise;

Sabitler asimptotik büyüme hızını etkilemeyeceğinden dolayı yaptığımız analiz sonucu algoritmanın çalışma süresi O(2^n) elde edilir.

Recursive (Özyinelemeli) Fonksiyon Analizi #1 Iteration Method (Tekrarlama Yöntemi) yazısı ilk önce Görkem Rıdvan ARIK üzerinde ortaya çıktı.

Recursive (özyinelemeli) algoritmaların analizini gerçekleştirme yöntemleri olan iteration, substition, master ve recurrence yöntemlerini kullanabilmek için öncellikle fonksiyonun zaman denkleminin T(n) cinsinden elde edilmesi gerekmektedir.

Oldukça basit bir işlem olmakla birlikte ana gereksinim analiz edilmek istenen algoritmanın çalışma mantığının kavranmasıdır. Bu makalede Binary Search algoritmasının öz yinelemeli fonksiyonu üzerinden örnekler ile T(n) denklemini elde edeceğiz.

İzlenecek Yol

Örneklere geçmeden önce teorik olarak izleyeceğimiz adımlardan bahsetmek gerekirse fonksiyonumuzu satır satır okuyacağız ve çalışma mantığını anlayacağız. Daha sonra sabitler, döngüler ve kendini çağırmalar için denklem değişkenlerini yerine koyacağız.

Binary Search Algoritmasının Zaman Denklemini Elde Etme

Binary search algoritması bilindiği üzere sıralı elemanlardan oluşan sayı kümesinde bir arama işlemi gerçekleştirir. Önce kümenin tam ortasındaki elemana bakar ve aranan eleman o ise geri döndürülür. Aranan eleman ortadaki elemandan büyükse kümenin ortasından sonuna kadar olan kısmında aynı işlem tekrarlanır. Aranan eleman küçük ise de kümenin başlangıcından ortadaki elemana kadar olan kısım alınarak tekrarlanır.

int binarySearch(int arr[], int left, int right, int x)
{
    if (right >= left) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == x)
            return mid;
        if (arr[mid] > x)
            return binarySearch(arr, left, mid - 1, x);
        return binarySearch(arr, mid + 1, right, x);
    }
    return -1;
}

Algoritmayı anladıktan sonra koda geçecek olursak ilk önce bir if kontrolü yapılıyor. Bu sabite O(1) diyebiliriz. Bu if içerisinde ise bir değişken ataması yapılarak başka bir if kontrolü yapılmış. Bu iki satır da sabit oldukları için kendilerine O(1) diyebiliriz.

Sabit kısımların ardından asıl önemli kısım olan recursive kısım gelmektedir. if (arr[mid] > x) kontrolünün şartı sağlanırsa yani dizinin ortasındaki eleman aranan sayıdan büyükse fonksiyon kendisini çağırıyor ve parametre olarak dizinin ilk elemanından orta elemanına kadar olan kısım veriliyor. Yani artık eleman sayısı yarıya inmiş durumda.

Bu if şartı sağlanmıyor ise dizinin ortasındaki eleman aranan sayıdan küçük veya eşit demektir. Böylelikle kümenin ortasından sonuna kadar olan kısım parametre olarak verilerek aynı işlemler tekrarlanıyor.

İki recursive çağırım da şarta bağlı olduğundan aslında yalnızca bir kez recursive çağırım yapılıyor. Ayrıca iki çağırımda da eleman sayısı yarıya iniyor. Dolayı koddaki işaretlenmiş recursive kısmına T(n/2) diyebiliriz.

En sonda ise elemanın bulunmama durumunda -1 sayısı döndürülüyor. Buna da O(1) diyebiliriz.

Bu adımların ardından zaman denklemimizi aslında yazdık. Toparlayacak olursak toplamda 4 kez O(1) sonucuna ve 1 kere T(n/2) sonucuna ulaştık. Buna göre T(n) denklemimiz:

T(n) = T(n/2) + 4O(1)

Elde ederiz. O(1)’ler sabit olduğu için direkt c dersek denklemin son hali:

T(n) = T(n/2) + c

Elde etmiş oluruz.

Sonuç

Bu yazıda Binary Search algoritmasının recurisve fonksiyonu için zaman fonksiyonunu yazdık. Özet olarak algoritmanın çalışma prensibini tespit ettikten sonra recursive çağırımların kaç kez çalıştığını saptamak denklemi yazmanın büyük bir kısmını oluşturmaktadır. Sabitler de eklenerek denklem kolayca elde edilmektedir.

Sonraki yazılarda bu elde ettiğimiz denklemi çeşitli yöntemler kullanarak çözerek algoritma analizini gerçekleştireceğiz.

Recursive (Özyinelemeli) Fonksiyonlarda Zaman Denklemini Bulma yazısı ilk önce Görkem Rıdvan ARIK üzerinde ortaya çıktı.